第118章 突然释怀的笑了 (第2/2页)

“老大都开始做第三题了？”
　　
　　“我顶你个肺！”
　　
　　李泽翰已经不知道该怎么形容自己此时的心情。
　　
　　老实说，即便已经认清了自己不可能跟那种怪物比的事实，但当这种残酷的事实发生在眼前时，他还是会感受到打击。
　　
　　但真正的勇士，敢于直面惨淡的人生，敢于正视淋漓的鲜血！
　　
　　“我李泽翰是没那么容易被打倒的！”
　　
　　振奋精神，李泽翰看向第二题。
　　
　　题目很简洁，也很漂亮，要证明的结论含义也很清楚，就是数列两项的差值，要小于n的阶乘分之一，同时n大于等于2。
　　
　　看到不等式，小学生……哦，不，初中生就应该知道，应该使用构造法！
　　
　　构造法主要是通过引入恒等式，对偶式，函数，图形，数列，让题目变得更直观，如果不等式中出现了n这种有规律的项，这个时候就要想到数列了。
　　
　　比如证明数列项之和，这个时候就应该想到构造一个移项相减的新数列，然后去分析新数列的单调性。
　　
　　对应这道题，n次幂的形式，则是可以把不等式两边拆分成n个相同，或者有通式的式子的乘积，再去比较大小。
　　
　　李泽翰思路自然涌现，他这些年专攻中学数竞，这些基础知识无比扎实，几乎看到题目的瞬间，脑海中就已经浮现出了解题思路，只是还需要时间去将这些思路转化成最后的答案而已。
　　
　　根号在不等式中显然是扎眼的，所以可以考虑先处理它，通过观察，能够轻易的发现，对式子左边每一项单独平方、立方……就能去除掉根号。
　　
　　这就很容易能够想到a^(2*3*……*n)-b^(2*3*……*n)这种形式，即可将全部根号去除，并且相减后能消去多余的项，得到(n+1)√(n+1)。
　　
　　那么就需要构造一个新的数列，ai=
　　
　　bi=
　　
　　所以题目要求的不等式就是a2-b2，同时a(i+1)-b(i+1)=(ai)^i-(bi)^i=(ai-bi)(ai^(i-1)+ai^(i-2)bi+……+aibi^(i-2)+bi^(i-1))
　　
　　(ai)^i-(bi)^i的幂次展开是有现成公式的，任何一个高中生都应该记得这个展开，同时因为幂次展开后面的式子是有规律的，所以可以将它记作Cn。
　　
　　所以有，
　　
　　a3-b3=(a2-b2)c2
　　
　　a4-b4=(a3-b3)c3
　　
　　……
　　
　　a(n+1)-b(n+1)=(an-bn)cn
　　
　　将式子两边相乘，约去相同的项，就能得到a(n+1)-b(n+1)=(a2-b2)(c2*c3……cn)，所以(a2-b2)=[a(n+1)-b(n+1)]/(c2·c3……cn)。
　　
　　而a(n+1)-b(n+1)=(an)^n-(bn)^n，所以a(n+1)-b(n+1)=(a2)^(n*n-1……3*2)-(b2)^(n*n-1……3*2)=(n+1)√(n+1)
　　
　　最后再来处理Cn。
　　
　　这种式子，李泽翰根本不用思考就能知道需要用到放缩。
　　
　　因为an>bn≥n√n=n^(1/n)
　　
　　所以an^(n-1)+an^(n-2)bn+……+anbn^(n-2)+bn^(n-1)式子中每一项都大于等于n^((n-1)/n)，而Cn有n项，所以cn≥n*n^((n-1)/n)>n*n^((n-1)/(n+1))。
　　
　　这时再回到刚才的式子，c2*c3……cn=n!*（一坨），当n>2时，n^((n-1)/(n+1))都是大于1的，所以可以只保留第n项，即c2*c3……cn=n!*n^((n-1)/(n+1))。
　　
　　所以，a2-b22时，前面的式子小于2n/n^2